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广东省湛江市普通高中2017-2018学年高二数学11月月考试题11

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上学期高二数学 11 月月考试题 11

一、选择题

1.二项式 ?1? sinx?n 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值为 5 ,
2

则 x 在[0,2π ]内的值为

()

A. ? 或 ? 63

B. ? 或 5? 66

C. ? 或 2? 33

D. ? 或 5? 36

2 . 在 ?1? x?5 ? ?1? x?6 ? ?1? x?7 的 展 开 式 中 , 含 x4 项 的 系 数 是 等 差 数 列 an ? 3n-5 的

() A.第 2 项

B.第 11 项

C.第 20 项

D.第 24 项

11
3.设(3x 3 +x 2 ) n 展开式的各项系数之和为 t,其二项式系数之和为 h,若 t+h=272,则展开

式的 x 2 项的系数是

()

A. 1
2

B.1

C.2

D.3

4.三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为( )

A.25

B. 26 C.36

D.37

5.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )

A.10 种

B. 25 种

C. 52 种

D. 24 种

6.把 10 个苹果分成三堆,要求每堆至少 1 个,至多 5 个,则不同的分法共有( )

A.4 种

B.5 种

C.6 种

D.7 种

7.设 A,B 是两个非空集合,定义 A ? B ? ?(a,b)|a ? A,b ? B? ,若 P ? ?0,1,2?,Q ? ?1,2,3,4 ? ,

则 P*Q 中元素的个数是( )

A.4

B.7

C.12

D.16

8.把 5 件不同的商品在货架上排成一排,其中 a,b 两种必须排在一起,而 c,d 两种不能排

在一起,则不同排法共有( )

(A)12 种 (B)20 种 (C)24 种 (D)48 种

9.有四位司机、四个售票员组成四个小组,每组有一位司机和一位售票员,则不同的分组方

案共有( )

(A) A88 种 (B) A84 种 (C) A44 · A44 种 (D) A44 种

10. 6310 被 8 除的余数是

()

A.1 B.2 C.3 D.7

二、填空题(题型注释)

11.整数 630 的正约数(包括 1 和 630)共有

个.

12.圆周上有 2n 个等分点( n ?1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为



13.若对于任意实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1(x ? 2) ? a2 (x ? 2)2 ? a3 (x ? 2)3 ,则 a1 ? a2 ? a3 的值

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为__________. 14.对于二项式(1-x) 1999 ,有下列四个命题:

①展开式中 T 1000 = ?C1999999 x999 ;
②展开式中非常数项的系数和是 1; ③展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项;

④当 x=2000 时,(1-x) 1999 除以 2000 的余数是 1.

其中正确命题的序号是__________.(把你认为正确的命题序号都填上)

15.五男二女排成一排,若男生甲必须排在排头或排尾,二女必须排在一起,不同的排法共



种.

三、解答题(题型注释)

16.求函数 y ? x2 ? 9 ? x2 ?10x ? 29 的最小值

17.某校学生会由高一年级 5 人,高二年级 6 人,高三年级 4 人组成. (1)选其中 1 人为学生会主席,有多少种不同的选法? (2)若每年级选 1 人为校学生会常委,有多少种不同的选法? (3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动,有多少种不同的选法?
18.(12 分)已知 (1 ? 2x)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,求展式中二项式系 4
数最大的项的系数.

19.一场晚会有 5 个唱歌节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节目单 (1)前 4 个节目中要有舞蹈,有多少种排法? (2) 3 个舞蹈节目要排在一起,有多少种排法? (3) 3 个舞蹈节目彼此要隔开,有多少种排法?
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20.已知方程 x2 ? y2 ? 2(t ? 3)x ?2(1? 4t2 ) y ?16t4 ? 9 ? 0 表示一个圆。
(1)求 t 的取值范围; (2)求该圆半径 r 的最大值及此时圆的标准方程

21.(14

分)规定 Cxm

?

x(x

? 1)?( x m!

? m ?1)

,其中

x∈R,m

是正整数,且

C

0 x

? 1 ,这是组

合数 Cnm (n、m 是正整数,且 m≤n)的一种推广.

(1) 求 C?315 的值;

(2)

设 x>0,当 x 为何值时,

C

3 x

(C

1 x

)

2

取得最小值?

(3) 组合数的两个性质;

① Cnm ? Cnn?m .

② Cnm ? Cnm?1 ? Cnm?1 .

是否都能推广到 Cxm (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;

若不能,则说明理由.
1.B 【解析】

参考答案

试题分析:因为二项式

?1

?

sinx

?n

的展开式中,末尾两项的系数之和为

C n?1 n

?

Cnn

=7,所以

n

=6;

系数最大的一项是 T3?1

? C63 (sin x)3 =

5 2

,所以 sin x = 1 2

,故 x 在[0,2π

]内的值为 ? 6

或 5? 6



选 B。

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考点:本题主要考查二项式展开式、二项式系数的性质及已知三角函数值 1 求角。 点评:是一道不错的小综合题。 2.C 【解析】
试题分析:在 ?1? x?5 ? ?1? x?6 ? ?1? x?7 的展开式中,含 x4 项的系数是 C54 + C64 ? C74 =55,所

以是 an ? 3n-5 的第 20 项,故选 C。

考点:本题主要考查二项式系数的性质、等差数列通项公式。 点评:基本题型,思路明确,认真计算。 3.B 【解析】

试题分析:由 4n

? 2n

? 272, 得 2n

?

16

,n=4, Tr?1

?

34?r

C r4 x

8?r 6

,

取 r=4.计算得展开式的 x 2 项的

系数是 1,故选 B。 考点:本题主要考查二项式展开式、二项式系数的性质。
点评:运用“赋值法”,建立关于 n 的方程。
4.C 【解析】设三角形另外两边为 X,Y x+y>11 x-y<11 x<11,y<11 且均为整数 所以 x,y 中有个数最大为 11 最小的整数为 1,最大边为 11 x=1 的时候 1 个 x=2 的时候 2 个 x=3 的时候 3 个 x=4 的时候 4 个 x=5 的时候 5 个 x=6 的时候 6 个 x=7 的时候 5 个 x=8 的时候 4 个 x=9 的时候 3 个 x=10 的时候 2 个 x=11 的时候 1 个 所以共有 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.故选 C。 考点:本题主要考查三角形构成条件、分类计数原理的应用。 点评:结合三角形知识,将符合条件的三角形分成 11 类,运用分类计数原理得解。 5.D 【解析】 试题分析:共分 4 步:一层到二层 2 种,二层到三层 2 种,三层到四层 2 种 ,四层到五层 2

种 ,一共 24 =16 种. 故选 D。

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考点:本题主要考查分步计数原理的应用。 点评:理解好题意,从一层到五层共分四步。 6.A 【解析】 试题分析:分类:三堆中“最多”的一堆为 5 个,其他两堆总和为 5,每堆最至少 1 个,只有 2 种分法。 三堆中“最多”的一堆为 4 个,其他两堆总和为 6,每堆最至少 1 个,只有 2 种分法。 三堆中“最多”的一堆为 3 个,那是不可能的。 考点:本题主要考查分类计数原理的应用。 点评:本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始,分别计算不同分法,然后求和。用列举法 也可以,形象、直观易懂。 7.C 【解析】 试题分析:P*Q 中元素的确定,分两步,P 中元素有 3 种选法,即 a 有 3 种选法,Q 中元素即 b 有 4 种选法,所以 P*Q 中元素的个数是 3×4=12,故选 C。 考点:本题主要考查分步计数原理的应用。 点评:背景新颖的简单题,审清题意。 8.C 【解析】
试题分析:a,b 必须相连,全排列有 A22 种方法;把 ab 看做一整体再与 e 全排列, A22 种方法;

最后将

c,d

插入四个空内有

C

2 4

种方法,所以共有

A22

A22

C42 =24 种方法,故选 C。

考点:简单的排列组合问题,主要考查排列组合的定义、排列数及组合数公式的应用。 点评:a,b 两种必须排在一起,要考虑“捆绑法”,而 c,d 两种不能排在一起,采用“插空

法”,由于前面进行了排列,所以最后将 c,d 插入四个空内有 C42 种方法,而不是 A42 。
9.D 【解析】 试题分析:共有四位司机、四个售票员组成四个小组,相当于先将司机(或售票员)固定,

售票员进行全排列,所以有 A44 种方案,故选 D。
考点:简单的排列问题,主要考查排列的定义、排列数公式的应用。 点评:解答这类题目,一般有两种思路,即“直接法”与“间接法”,这里运用了直接法。 10.A 【解析】

试题分析:由 6310 ? (64 ?1)10 展开后,最后一项为 1,其余各项均含因数 8,故 6310 被 8 除的

余数是 1,选 A。 考点:本题主要考查二项式定理的应用。 点评:转化成二项式问题。 11.24 【解析】

试题分析:首先将 630 分解质因数 630=2×3 2 ×5×7; 然后注意到每一因数可出现的次幂数,

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如 2 可有 20 , 21 两种情况,3 有 30 , 31, 32 三种情况,5 有 50 , 51 两种情况,7 有 70 , 71 两种情况,
按分步计数原理,整数 630 的正约数(包括 1 和 630)共有 2×3×2×2=24 个。 考点:本题主要考查分步计数原理的应用。 点评:代表了此类题的统一解法,1 恰好是均选 0 次幂的情况,630 恰好是均选最高次幂的情 况。 12. 2n(n ?1) 【解析】 试题分析:分两步:第一步,求得直径条数;第二步,确定另一顶点方法数。圆周上有 2n 个 等分点,可以构成 n 条直径,每条直径与其他任意一点,可以构成一个直角三角形。 所以圆 周上有 2n 个等分点(n>1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为:
n(2n ? 2) = 2n(n ?1)
考点:本题主要考查分步计数原理的应用。 点评:结合几何图形,将直角三角形的构成分两步完成。
13.19
【解析】解:因为对于任意实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? a3 ( x ? 2)3 ,则令

x-=3,x=2,可知, a1 ? a2 ? a3 =33-23=27-23=19
14.①④ 【解析】

试题分析:二项式(1-x) 1999 中 T1000

?

C 999 1999

(?

x)999

?

?C1999999 x999 ,①正确;令 x

? ?1 得展开式

中所有项的系数和是 21999 ,展开式中常数项的系数和是 1,所以展开式中非常数项的系数和是

21999 -1,②不正确;展开式中系数正、负间隔出现,系数最大项,不可能有两个,③不正确;

当 x=2000 时,(1-x) 1999 展开式中除第一项不含因数 2000,其余各项均有因数 2000,所以

(1-x) 1999 除以 2000 的余数是 1,④正确。 考点:本题主要考查二项式定理、二项式展开式及二项式系数的性质。 点评:对四个命题注意考查,明确正确与否。这是高考题目中常见题型。 15.480 【解析】
试题分析:第一步,两女生在一起的排法是 A22 ;
第二步,甲的位置是 A21 ;
第三步,此时甲已经安排好,余下 5 个元素(将 2 女看成一个元素)全排列有 A55 种;所以不
同的排法共有 A22 A21 A55 =480 种。

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考点:主要考查排列的定义、排列数公式的应用以及分步计数原理的应用。 点评:稍具综合性,运用了“捆绑法”,优先考虑特殊元素。

1 6 . ymin= 5 2

【 解 析 】解:y ? ? x ? 0?2 ? ?3 ? 0?2 ? ? x ? 5?2 ? ?0 ? 2?2 可以看作是 x 轴上的动点 P(x,0)
到两定点 A(0,3)、B(5,-2)的距离之和,由“两点之间线段最短”可知,当 A、P、B 三

点共线即 x=3 时 ymin= AB ? 5 2 。

17.(1) N ? 5 ? 6 ? 4 ?15 ;(2) N ? 5?6? 4 ?120 ;(3) N ? 5?6 ? 6? 4 ? 4?5 ? 74 。 【解析】 试题分析:解:(1)选其中 1 人为学生会主席,各年级均可分三类 N ? 5 ? 6 ? 4 ?15 种; (2)每年级选 1 人为校学生会常委,可分步从各年级分别选择, N ? 5?6? 4 ?120 种; (3)要选出不同年级的两人参加市里组织的活动,首先按年级分三类“1,2 年级”,“1,3 年 级”,“2,3 年级”,再各类分步选择 N ? 5?6 ? 6? 4 ? 4?5 ? 74 种。 考点:本题主要考查分类、分步计数原理的综合应用。 点评:是一道综合性较强的题目,分类中有分步,要求有清晰的思路。
18. 35 16
【解析】

试题分析:由 Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ? 37, (3 分)得1? n ? 1 n(n ?1) ? 37 (5 分),
2

解得 n ? 8 .(8 分)

所以 T5

?

C84

1 45

(2x)5

?

35 16

x5

,系数最大,为

35 16

.(12

分)

考点:本题主要考查二项式定理、二项式系数的性质。

点评:本题是二项式定理的应用应用问题中的基本题型,不但考查二项式定理的应用,而且

对考生的函数方程思想、计算能力均有较好考查。

19.(1) 37440;(2) 4320;(3) 14400

【解析】

试题分析:(1)八个节目的全排列有 A88 =40320 种排法,前四个节目没有舞蹈,有 A54 A44 =2880

种排法,所以,前 4 个节目中要有舞蹈,有 A88 - A54 A44 =40320-2880=37440 种排法;(2)3

个舞蹈节目要排在一起,可把它们看做一个整体与唱歌节目共 6 个元素且自身有 A33 种排法,

所以有 A33 A66 =4320 种排法;(3)3 个舞蹈节目彼此要隔开,可先排唱歌节目有 A55 种排法,将

三个舞蹈节目排在 6 个空位有 A63 种排法,所以排法数为 A55 A63 =14400 种。
考点:主要考查有条件的排列问题解法,考查学生的逻辑思维能力及计算能力。 点评:本题综合考查了有条件的排列问题解法,有“直接法”“间接法”“捆绑法”“插空法”, 是一道很好的题目。

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20. (1) ? 1 ? t ? 1;(2) (x ? 24)2 ? ( y ? 13 )2 ? 16

7

7

49 7

【 解 析 】 解:(1)∵已知方程表示一个圆,所以 D2+E2-4F>0,即 4(t ? 3)2 ? 4(1? 4t2 )

? ? ?4 16t4 ? 9 >0,整理得 7t2-6t-1<0,解得 ? 1 ? t ? 1。 7

(2) r ? ?7t2 ? 6t ?1 = ?7(t ? 3)2 ? 16 ≤ 4 7 ,当 t= 3 时,rmax= 4 7 .圆的标准方程为

77 7

7

7

(x ? 24)2 ? ( y ? 13 )2 ? 16

7

49 7

21.(1) C?315

?

(?15)(?16)(?17) 3!

?

?680

;(2)当

x

?

2 时, Cx3 取得最小值.(3)性质①不能 (C1x )2

推广,例如当 x ? 2 时, C1 有定义,但 C 2 ?1 无意义; 证明见解析。

2

2

性质②能推广,它的推广形式是

C

m x

?

C xm ?1

?

C

m x ?1

,x?R

,

m 是正整数.

【解析】

试题分析:(1) C?315

?

(?15)(?16)(?17) 3!

?

?680

.

(4 分)

(2)

Cx3 (C1x )2

?

x(x

?1)(x ? 2) 6x2

?

1 (x 6

?

2 x

? 3)

.

(6 分)

∵ x > 0 , x?2?2 2 . x

当且仅当 x ? 2 时,等号成立. ∴ 当 x ? 2 时, Cx3 取得最小值. (8 分) (C1x )2

(3)性质①不能推广,例如当 x ? 2 时, C1 有定义,但 C 2 ?1 无意义; (10 分)

2

2

性质②能推广,它的推广形式是

C

m x

?

C xm ?1

?

C

m x ?1

,x?R

,

m 是正整数.

(12 分)

事实上,当

m=1时,有 C1x

?

C

0 x

?

x

?1

?

. C 1x ?1



m≥2时. Cxm

? Cxm?1

?

x(x

? 1)?( x m!

?

m

? 1)

?

x(x

?1)?(x ? m (m ?1)!

?

2)

?

x(

x

?

1)?(x ? (m ?1)!

m

?

2)

? ??

x

?

m m

?

1

?

1???

?

x(x ?1)?(x ? m ? 2)( x ? 1) m!

?

C

m x ?1

.(14

分)

考点:本题主要考查组合数的性质、二项式系数的性质,考查学生的逻辑思维能力及运算能

力。

点评:这是一道综合性较强的题目,对学生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力,

均有较好的考查。在课本基本题型(组合数的性质)的基础上有拓广创新。

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