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高考文科数学总复*(第1轮)广西专版课件5.1向量的概念及其几何运算(第2课时)

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第 五 章 *面向量 1 5.1 向量的概念及其几何运算 第二课时 题型3 共线向量与三点共线问题 1. 在*行四边形ABCD中, M是AB的中点,N在BD上,且 是否共线,并说明理由. 1 BN ? BD.试推断M、N、C三点 3 2 2 所以 MN=MB+BN= 1 AB+ 1 BD 2 3 1 1 1 1 1 ? AB ? ( AD - AB ) ? ( AB ? AD ) ? MC , 2 3 3 2 3 所以向量 MN 与 MC 共线,故M、N、C三点 解:因为 MC ? MB ? BC ? 1 AB ? AD, 共线. 点评:用向量法证明几何中的*行或共线 问题,就是用向量表示图中的有关线段,利用 向量的相等得到线线*行或多点共线,如本题 中的三点共线,即从这三点中任取两点构成向 量,然后看这两个向量是否是共线向量. 3 拓展练* 4 5 6 题型4 *面向量基本定理的应用 2. 如图,三角形ABC 中,点M是BC的中点,点 N在边AC上, AN ? 2 NC , AM与BN相交于点P,设 AB =e1, AC =e2.试用e1、e2 表示 AP . 解:因为 AB=e1, AC =e2,则 AM ? 1 (e1 ? e2 ), 2 2 又 AN ? 2NC, 所以 AN ? e2 . 3 7 又设 AP ? ? AM ? ? (e1 ? e2 ), BP ? k BN ? k ( AN - AB) ? 2k e2 - ke1, 则由AP ? AB ? BP, 得 2 所以 所以 ?? ? 1- k ? ?2 , ? ? ? ? 2k ? 3 ?2 解得 ? ? ? 2k (e1 ? e2 ) ? e1 ? e2 - ke1 , 2 3 4 ? ? ? ? 5 , ?k ? 3 ? 5 ? 3 AP ? 点评:本题向量比较多,一般取不共线的 两向量作为基本向量,其他向量都往这两个向 量转化,如本题中尽量往△ABC的边所在向量 2 2 e1 ? e2 . 5 5 AB、 AC 上转化,转化的策略是利用加减法运算 合并向量或分解向量. 8 拓展练* 在*行四边形 ABCD中,M、N分别是CD、 BC的中点,设 AM ? a, AN ? b, 试以a、b为基底表示向量AB 和 AD . 解:由图知, AB ? BN ? AN, AD ? DM ? AM . 4 2 1 ? ? AB ? b - a, AB ? AD ? b, ? ? ? 3 3 ? 2 ? 所以 ? 解得 ? AD ? 4 a - 2 b. ? AD ? 1 AB ? a. ? ? 3 3 ? ? 2 9 题型5 向量的几何运算 3. O是*面内一定点,A、B、C是*面内 AB AC 不共线的三个点,动点P满足OP ? OA ? ? ( ? λ∈ ), | AB | | AC | [0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的 ( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 10 解:由已知得 AP ? ? ( AB 因为 | AB | AC 与 | AC | 是单位向量, AB AC ? ). | AB | | AC | AB AC 所以 ? 是以这两个单位向量为邻边 | AB | | AC | 的*行四边形的对角线所在向量,从而点P在 ∠BAC的*分线上,故选B. 点评:有关向量的几何运算,是数形结合 的一个方面,正确理解运算法则是基础,掌握 运算规律是重点,而综合应用则是考点、难点 与关键. 11 拓展练* O是*面ABC内一点,且 (OB ? OC - 2OA) ? CB ? 0, 则三角形ABC一定是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 斜三角形 解:由 OB ? OC - 2OA ? (OB - OA) ? (OC - OA) ? AB ? AC, 2 2 而 CB ? AB - AC,可得 AB - AC ? 0, 即有 | AB |?| AC |, 所 以三角形ABC是等腰三角形,故选B. 12 1. 关于实数与向量的积 (1)向量本身具有“形”和“数”的双重特 点,而在实数与向量的积的运算过程中既要考 虑模的大小,又要考虑方向,因此它是数形结 合思想的具体运用,这点提示我们解题时不要 脱离了向量的几何意义. a ? 是一个单位向量. (2)对任意非零向量a, |a| 13 (3)设 OP ? xOA ? yOB (x,y∈R),则P、A、 B三点共线的充要条件是x+y=1. 2.向量是一个几何量,是有“形”的量, 因此,在研究向量的有关问题时,一定要结 合图形进行分析、判断、求解,这是研究* 面向量最重要的方法与技巧. 14



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