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山东省巨野县第一中学高中数学 1.3.1 函数的单调性课件2 新人教A版必修1

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?1.3.1单调性与最大 (小)值(1) ?------函数的单调性 同学们,在初中的时候我们已经学过了函数图像的一些基 本画法,而且我们也知道,函数的图像在一定的程度上能够反 映一个函数的基本性质,那么现在就让我们通过函数的图像来 进一步研究函数的性质。 请同学们观察下面两组在相应区间上的函数图像,然后指出这 两组图像有什么区别? 第一组: 第二组: ? 在第一组图像中,我们可以看到,在给定的区间 上图像呈上升趋势;在第二组图像中,在给定区 间上呈下降趋势。函数图像的“上升”“下降” 反映了函数的一个基本性质——单调性。那么如 何描述函数的这种“上升”和“下降”呢? 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下降______? ②在区间 ____________ 上,随着x的增大, f(x)的值随着 ________ . 2.f(x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ②在区间 ____________ 上,随着x的增 大,f(x)的值随着 ________ . 3.f(x) = x2 ①在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着x的增大而 ________ . ② 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着x的增大而 ________ . (一)函数单调性定义 二.新课教学 1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定 义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 ,x2 , 当D上x1是<x增2时函,数都(有incf(rxe1a)s<inf(gx2fu),nc那tio么n)就.说f(x)在区间 y f (x) y f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) x1 x2 x 图3 x1 x2 x 图4 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某 个区间上的性质,是函数的局部性 质; ②必须是对于区间D内的任意两个 自变量x1,x2;当x1<x2时,总有 f(x1)<f(x2) . 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减 函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间: 注意:⑴函数的单调区间是其定义域的子集; ⑵应是该区间内任意的两个实 数,忽略需要任意取值这个条 件,就不能保证函数是增函数 (或减函数),例如,图5中, 在那样的特定位置上,虽然使 得示的f( x函1)>数f(不x2 )是,一但个显单然调此函图数象;表 y f (x) f (x1) f (x2 ) x1 x2 x 图5 ⑶几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图 象上升,则为增函数,图象下降则为减函数. 结论1:一次函数 y ? kx ? b(k ? 0)的单调性, 单调区间: 来源:zxxk.com 结论2:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的单调性,单调区间: (二)典型例题 例1.如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函 数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单 调区间,以及在每一单调区间上,函数 y=f(x)是增函数还是减函数. y f (x) -2 -5 1 3 x 5 图6 注意:函数的单调性是对某个区间而言的, 对于单独的一点,由于它的函数值是唯一 确定的常数,因而没有增减变化,所以不 存在单调性问题;对于闭区间上的连续函 数来说,只要在开区间上单调,它在闭区 间上也就单调,因此,在考虑它的单调区 间时,包括不包括端点都可以; 例2.作出函数 y = x2 - 4 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间. 例3.物理学中的玻意定律 来源:zxxk.com p = k V (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体, 当体积V减小时,压强P将增大.试用函数的 单调性证明之. 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上 的单调性的一般步骤: ① 任取x1,x2∈D,且x1<x2; ② 作差f(x1)-f(x2); ③ 变形(通常是来源因:zxxk.co式m 分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). 探究:P30 画出反比例函数 y ? 1 的图象. x ①这个函数的定义域是什么? ②它在定义域I上的单调性怎样?证明 你的结论. 结论3:反比例函数 y ? k (k ? 0) x 的单调性,单调区间: 例4.证明函数 y ? x ? 1 x 在(1,+∞)上为增函数. 来源:zxxk.com 例5.讨论函数 f(x) ? x2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性. 三.归纳小结 1、函数的单调性的判定、证明和单调区间 的确定:函数的单调性一般是先根据图象 判断,再利用定义证明.画函数图象通常 借助计算机,求函数的单调区间时必须要 注意函数的定义域,单调性的证明一般分 五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2、直接利用初等函数的单调区间。



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